Dalam dunia matematika, faktorial merupakan operasi yang penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang, termasuk aljabar, kombinatorika, dan statistik. Faktorial dari suatu bilangan bulat positif n dilambangkan dengan n! dan didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n. Dengan kata lain, n! = 1 × 2 × 3 × … × n.

Salah satu faktorial yang sering digunakan dalam perhitungan adalah 5!. Nilai dari 5! adalah hasil kali dari bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5. Jadi, nilai dari 5! adalah 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.

Nilai dari 5! sangat penting dalam berbagai aplikasi, seperti menghitung kemungkinan atau peluang dalam peristiwa acak, menghitung banyaknya cara menyusun suatu objek, dan menghitung luas atau volume suatu bangun ruang. Oleh karena itu, memahami konsep faktorial dan nilai dari 5! merupakan hal yang fundamental dalam matematika.

Rumus Faktorial

Definisi Formal

Faktorial dari bilangan bulat positif n didefinisikan sebagai:

n! = 1 × 2 × 3 × … × n

Rumus Rekursif

Selain definisi formal di atas, faktorial juga dapat dihitung menggunakan rumus rekursif, yaitu:

n! = n × (n – 1)! untuk n > 1
1! = 1

Contoh Perhitungan Nilai dari 5!

Untuk memperoleh nilai dari 5!, kita dapat menggunakan rumus faktorial dengan mengalikan bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5:

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5
= 120

Soal Latihan

1. Hitunglah nilai dari 3! dan 4!.
2. Berapa banyak cara menyusun 3 huruf dari kata “RUMAH”?
3. Sebuah dadu dilempar sebanyak 5 kali. Berapa banyak kemungkinan hasil yang berbeda?
4. Hitunglah luas alas sebuah prisma segitiga siku-siku dengan tinggi 10 cm, panjang alas 6 cm, dan lebar alas 8 cm.
5. Sebuah kotak berisi 6 bola berwarna merah, 5 bola berwarna biru, dan 4 bola berwarna hijau. Berapa banyak cara mengambil 3 bola dengan warna yang berbeda?

Aplikasi Faktorial

Kombinatorika

  • Menghitung jumlah cara menyusun objek
  • Menghitung banyaknya kombinasi objek
  • Menghitung banyaknya permutasi objek

Statistik

  • Menghitung distribusi binomial
  • Menghitung distribusi Poisson
  • Menghitung distribusi hipergeometrik

Geometri

  • Menghitung luas dan volume bangun ruang
  • Menghitung panjang kurva
  • Menghitung luas permukaan bangun ruang

Faktorial dan Angka Nol

Nilai dari 0! didefinisikan sebagai 1, meskipun definisi ini tidak mengikuti rumus faktorial yang umum.

Faktorial dan Bilangan Negatif

Faktorial tidak didefinisikan untuk bilangan negatif.

Faktorial dan Bilangan Pecahan

Faktorial juga tidak didefinisikan untuk bilangan pecahan.

Notasi Faktorial Ganda

Untuk faktorial dari suatu bilangan yang dikalikan dengan dirinya sendiri k kali, digunakan notasi k!, di mana k adalah bilangan bulat positif. Misalnya, 3!! = 3 × 2!! = 3 × 2 × 1!! = 3 × 2 × 1 = 6.

Contoh Soal Latihan Lanjutan

1. Hitunglah nilai dari 6!!.
2. Berapa banyak cara memilih 4 orang dari 10 orang untuk membentuk sebuah tim?
3. Sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali. Berapa banyak kemungkinan hasil yang berbeda yang memiliki jumlah mata lebih besar dari 10?
4. Hitunglah luas permukaan sebuah kubus dengan panjang rusuk 5 cm.
5. Sebuah kotak berisi 8 bola berwarna merah dan 7 bola berwarna biru. Berapa banyak cara mengambil 4 bola dengan setidaknya 2 bola berwarna merah?

Artikel Terkait

Bagikan:

Tags:

Leave a Comment